Щоб вирішувати методом Гаусса, необхідно реалізовувати перетворення рівнянь даної системи з метою висловлення однієї змінної через іншу, знаходження в результаті значення однієї з них і підстановки в вище знайдені залежності для пошуку інших.

Тобто ми будемо додавати, віднімати одне рівняння з іншого, щоб добитися скорочення однієї змінної, потім ще одній і т.д. Вирішувати методом Гаусса нескладно, але іноді досить довго.

Розглянемо конкретний приклад. Дана система рівнянь:

х + 2у-z = 0

2x-y + 3z = 5

-4x + y-2z = -3

Щоб зручно було робити перетворення, шукаємо ті рівняння, де коефіцієнт при невідомих однаковий. У нашому випадку є друге і третє рівняння з коефіцієнтом при у 1 і -1, підсумовуємо їх: 2x-y + 3z + (- 4x) + y-2z = 5 + (- 3), отримуємо: -2х + z = 2, тобто z = 2 + 2х.


Більше таких варіантів немає, тому будемо домножать одне з рівнянь на число, щоб отримати однакові коефіцієнти при змінної z (ролі не грає, яка саме змінна стане першою, але як правило, шлях йде методом виключення змінних з кінця з метою знайти х). Домножаем перше рівняння на 3: 3х + 6У-3z = 0, потім підсумовуємо його з другим (як ліву, так і праву частини): 3х + 6У-3z + 2x-y + 3z = 0 + 5, маємо: 5х + 5у = 5, звідси виносимо 5, скорочуємо (так буває не завжди) і отримуємо рівняння х + у = 1, звідки у = 1-х.

Підставляємо отримані значення змінних в будь-яке рівняння, нехай в третьому (коли пропонується вирішувати методом Гаусса передбачається запис у вигляді трикутника): -4х + (1-х) -2 (2 + 2х) = - 3, маємо: -9х-3 = -3, х = 0. Тоді у = 1-0 = 1 і z = 2 + 2 * 0 = 2. Рішення знайдено.