Взагалі точки розриву функцій виникають тільки в тому випадку, коли графік втрачає свою безперервність. Розриви бувають двох родів. Перший випадок відбувається тоді, коли точка розриву усунена або НЕ усунена. А в другому роді розрив функції - це неіснуюче значення (нескінченність).

Виходить, знайти точки розриву функції можна тільки тоді, коли ви визначите рід розриву і зможете знайти область визначення функції. Крім цього, вам доведеться відшукати значення меж функції праворуч і ліворуч, а потім зробити порівняння їх з областю визначення.

Найлегше буде зрозуміти на прикладі. Дано f (x) = (x? - 25)/(x - 5). Завданням є пошук розривів функцій і визначення їх типу.

Першим ділом займаємо визначенням області. Тут одразу видно що область безмежна.


Однак, є виняток у точці x_0 = 5. Далі обчислюємо односторонні межі. Спрощуємо наш вихідний приклад до наступного рівняння: f (x) -> g (x) = (x + 5). Ця функція буде в будь-якому значенні аргументу неперервна. Також можна сказати, що всі її межі між собою рівні.

Займаємося визначенням збігу значень меж у функції. Для цього пишемо x_0 = 5: f (x) = (x? - 25)/(x - 5). Легко зрозуміти, що на нуль ділити не можна, тут знаменник якраз буде дорівнює нулю. Отже, ми бачимо наявність однієї точки розриву. Це перший тип, переборні значення.

У другому випадку ми маємо справу з нескінченним розривом. Припустимо, дано f (x) = 1/x. Явно помітно, що тут область нескінченна. Можна сказати, що межі прагнуть до нескінченності і + нескінченності. Значить x_0 = 0 - це розрив функції другого типу.